Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，⊙A的半径为1，如图所示．若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．
（1）求⊙A与△ABC重叠部分图形的面积（结果用π的式子表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当⊙O与⊙A外切时，△AOC的面积．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，⊙A的半径为1，
∴⊙A与△ABC重叠部分图形的面积为：=π；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
则∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，则OC=4-x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4-x）×2=4-x，
即y=4-x （0＜x＜4）；

（3）∵⊙O与⊙A外切，
∴O与A的连接线段必过切点，
设切点为N．
∵⊙O半径为BO，⊙A的半径为1，
则OA=1+ON，又OB=ON，则OM=（2-ON），
又∵AM=2，AM⊥BC，
有AM²+OM²=OA²，
即4+（2-ON）²=（1+NO）²，
∴4+4+ON²-4ON=ON²+2ON+1，
∴6NO=7，
则NO==x，
则S_△AOC=4-x=4-=．
分析：（1）由∠BAC=90°，⊙A的半径为1，由扇形的面积公式即可求得⊙A与△ABC重叠部分图形的面积；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC=2，根据勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）由⊙O与⊙A外切，可得O与A的连接线段必过切点，⊙O半径为BO，⊙A的半径为1，可得OA=1+ON，又OB=ON，则OM=（2-ON），根据勾股定理AM²+OM²=OA²，即可求得ON的值，继而求得△AOC的面积．
点评：此题考查了相切两圆的性质，三角形面积的求解方法，以及勾股定理的应用等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．