【题目】如图,在△ABC中,AB=BC=4,S△ABC=4 ,点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点,则PK+QK的最小值为 .
【答案】2
【解析】解:如图,过A作AH⊥BC交CB的延长线于H,
∵AB=CB=4,S△ABC=4 ,
∴AH=2 ,
∴cos∠HAB= = ,
∴∠HAB=30°,
∴∠ABH=60°,
∴∠ABC=120°,
∵∠BAC=∠C=30°,
作点P关于直线AC的对称点P′,
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K,
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值,
∴∠P′AK=∠BAC=30°,
∴∠HAP′=90°,
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°,
∴四边形AP′QH是矩形,
∴P′Q=AH=2 ,
即PK+QK的最小值为2 .
故答案为:2 .
根据轴对称确定最短路线问题,作点P关于BD的对称点P′,连接P′Q与BD的交点即为所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥BC时PK+QK的最小值,然后求解即可.
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【题目】如图,在ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,AE与BF相交于点O,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AE=6,BF=8,CE= ,求ABCD的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.
(1)若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动,同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.
①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1 s后,请说明△BPD≌△CQP.
②若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ?
(2)若点P以3 cm/s的速度从点B向点C运动,同时点Q以5 cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P?
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【题目】如图,已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P,且AP=2PC,现欲在线段AB上求作两点D,E,使其满足AD=DC=CE=EB,对于以下甲、乙两种作法:
甲:分别作∠ACP、∠BCP的平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;乙:分别作AC、BC的垂直平分线,分别交AB于D、E,则D、E两点即为所求.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误
C. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确
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【题目】体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数,并列出下面的频数分布表:
次数 | 60≤x<90 | 90≤x<120 | 120≤x<150 | 150≤x<180 | 180≤x<210 |
频数 | 16 | 25 | 9 | 7 | 3 |
(1)全班有多少同学?
(2)组距是多少?组数是多少?
(3)跳绳次数x在120≤x<180范围的同学有多少?占全班同学的百分之几(精确到0.1%)?
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【题目】在平面直角坐标系中,将点A(﹣1,﹣2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( )
A.(﹣3,﹣2)
B.(2,2)
C.(﹣2,2)
D.(2,﹣2)
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