Question

在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作Rt△ABH、Rt△ACI，且使∠ABH=∠ACI=α，P为BC中点，则PH、PI的夹角为

 

，你的理由是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：计算题

分析：PH、PI的夹角为2α，理由为：取D、E分别为AB、AC的中点，连接PD，PE，HD，IE，由中位线定理及直角三角形斜边上的中线性质得到HD=PE，DP=EI，利用等腰三角形的性质及平行线的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形PDH与三角形IEP全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DHP=∠EPI，由PE与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠BDP=∠DPE，利用三角形外角性质及内角和定理即可求出．

解答：解：PH、PI的夹角为2α，理由为：
取D、E分别为AB、AC的中点，连接PD，PE，HD，IE，
在Rt△ABH中，HD为斜边上的中线，
∴HD=

1

2

AB，IE=

1

2

AC，
在△ABC中，D为AB中点，P为BC中点，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC，同理PE∥AB，PE=

1

2

AB，
∴HD=PE，DP=IE，∠PDB=∠BAC，∠CEP=∠BAC，
在等腰△HBD中，∠DBH=α，
∴∠HDB=180°-2α，
同理∠CEI=180°-2α，即∠HDB=∠CEI，
∴∠BDH+∠BDP=∠PEC+∠CEI，即∠PDH=∠IEP，
在△PDH和△IEP中，

HD=EP ∠PDH=∠IEP DP=EI

，
∴△PDH≌△IEP（SAS），
∴∠DHP=∠EPI，
∵PE∥AB，
∴∠BDP=∠DPE，
∴∠HPI=∠HPD+∠DPE+∠EPI=∠HPD+∠BDP+∠DHP=∠PHD+∠DFH=180°-∠HDB=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α；取D、E分别为AB、AC的中点，连接PD，PE，HD，IE，
在Rt△ABH中，HD为斜边上的中线，
∴HD=

1

2

AB，IE=

1

2

AC，
在△ABC中，D为AB中点，P为BC中点，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC，同理PE∥AB，PE=

1

2

AB，
∴HD=PE，DP=IE，∠PDB=∠BAC，∠CEP=∠BAC，
在等腰△HBD中，∠DBH=α，
∴∠HDB=180°-2α，
同理∠CEI=180°-2α，即∠HDB=∠CEI，
∴∠BDH+∠BDP=∠PEC+∠CEI，即∠PDH=∠IEP，
在△PDH和△IEP中，

HD=EP ∠PDH=∠IEP DP=EI

，
∴△PDH≌△IEP（SAS），
∴HP=IP，∠DHP=∠EPI，
∵PE∥AB，
∴∠BDP=∠DPE，
∴∠HPI=∠HPD+∠DPE+∠EPI=∠HPD+∠BDP+∠DHP=∠PHD+∠DFH=180°-∠HDB=180°-（180°-2α）=2α．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．