Question

已知：二次函数y=x²-mx+

3

4

m+1（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值（用含m的代数式表示）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①根据二次函数x²-mx+

3

4

m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；
②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）分三种情况：（ⅰ）当

m

2

＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤

m

2

≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当

m

2

＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值．

解答：解：（1）①∵二次函数y=x²-mx+

3

4

m+1的图象与x轴只有一个公共点A，
∴△=m²-4×1×（

3

4

m+1）=0．
整理，得m²-3m-4=0，
解得m₁=4，m₂=-1，
又∵点A在x轴的正半轴上，
∴m=4，
②由①得点A的坐标为（2，0）．
∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．
设平移后的图象对应的函数解析式为y=x²+bx+c（b，c为常数）．
∴

c=-2 4+2b+c=-2

，
解得

b=-2 c=-2

∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x²-2x-2．

（2）函数y=x²-mx+

3

4

m+1的图象是顶点为（

m

2

，-

m2

4

+

3

4

m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：
（ⅰ）当

m

2

＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为

3

4

m+1；
（ⅱ）当0≤

m

2

≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为-

m2

4

+

3

4

m+1；
（ⅲ）当

m

2

＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为-

5

4

m+5．
综上，当m＜0时，函数y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值为

3

4

m+1；当0≤m≤4时，函数y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值为-

m2

4

+

3

4

m+1；当m＞4时，函数y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值为-

5

4

m+5．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：根的判别式，方程思想，分类思想，正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，综合性较强．