Question

13．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AC=13，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：CB是∠ECA的角平分线；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质证明即可；
（2）根据勾股定理求出AB的长，证明△BED∽△CBA，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（3）连结OB，OD，证明△ABO≌△DBO，得到∠DBO=∠ABO，证明OB∥ED，根据平行线的性质得到EB⊥BO，根据切线的判定定理证明结论．

解答 （1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD，
∵四边形BCDA是⊙O的内接四边形，
∴∠BCE=∠BAD，即CB是∠ECA的角平分线；
（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=5，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{BD}{CA}$即$\frac{DE}{12}$=$\frac{12}{13}$，
解得，DE=$\frac{144}{13}$；
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{OD=OA}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定圆内接四边形的性质、及圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角、同弧所对的圆周角相等、经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线是解题的关键．