Question

如图，从观察点A处发现北偏东45°方向，距离为9

2

海里的B处有一走私船．这时一搜缉私艇位于A点的北偏西53°方向的C处，且C点恰好在B点的正西方向．此时走私船正以每小时50海里的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，缉私艇奉命立即以每小时50

3

海里的速度向走私船追去．问：
（1）点B和点C相距多少海里？
（2）缉私船沿什么方向行驶，才能在最短的时间内追上走私船？并求出所需时间．（参考数据：sin53°≈

4

5

，cos53°≈

3

5

，tan53°≈

4

3

）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）先解Rt△ABE，得出BE=

2

2

AB=9，再解Rt△ACE，得出CE=AE•tan53°=12，然后根据BC=CE+BE即可求解；
（2）设最短经过x小时缉私船在D点追上走私船，则CD=50

3

x，BD=50x，作DF⊥CB的延长线于F．先解Rt△DBF，得出BF=25x，DF=25

3

x，则DF=

1

2

CD，得出∠DCF=30°，CF=

3

DF，由此列出方程21+25x=

3

×25

3

x，解方程即可．

解答：解：（1）Rt△ABE中，∠BAE=45°，
∴BE=AE=

2

2

AB=

2

2

×9

2

=9．
Rt△ACE中，∠CAE=53°，
∴CE=AE•tan53°=9×

4

3

=12，
∴BC=CE+BE=12+9=21（海里）．
答：点B和点C相距21海里；

（2）设最短经过x小时缉私船在D点追上走私船，则CD=50

3

x，BD=50x，作DF⊥CB的延长线于F．
在Rt△DBF中，∠DBF=60°，
∴BF=25x，DF=25

3

x，
∴DF=

1

2

CD，
∴∠DCF=30°，
∴CF=

3

DF，即
21+25x=

3

×25

3

x，
解得x=0.42．
答：缉私船沿北偏东60°方向行驶，最短最短经过0.42小时追上走私船．

点评：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．