Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（-4，n）在抛物线上．

（1）求直线CD的解析式；

（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM=BN时，求EM+MN+BN的值．

（3）将抛物线y=x2+2x-3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l上，△PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线CD的解析式为y=-2x-3；（2）1+；（3）存在．满足条件的点P坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．根据S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8，可知m=﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3），再证明Rt△EHM≌Rt△BON即可解决问题；

（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．

（1）由题意得：C（0，﹣3），D（﹣4，5），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线CD的解析式为y=﹣2x﹣3．

（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．

∴S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8．

∵﹣2＜0，∴m=﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3）．

∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，设CE交对称轴于H．

∵B（1，0），∴EH=OB=1．

∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=OC=，∴EM=BN==，∴EM+MN+BN=1+．

（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K．

由P1Q=P1F，∠QP1F=90°，可得△P1MF≌△P1NQ，∴P1M=P1N，∴点P在∠MKN的角平分线上．

∵直线KP1的解析式为y=﹣x﹣1，抛物线y′的解析式为y=x2﹣4x，由，解得：或，∴P1（），P2（），同法可知，直线y=x+1与抛物线的交点P3，P4也符合条件．

由，解得：或，∴P3（），P4（）．

综上所述：满足条件的点P坐标为（）或（）或（）或（）．