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【题目】已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.

(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;

(2)如图2,若点P在线段AB的中点,连接AC,判断ACE的形状,并说明理由;

(3)如图3,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分AEC时,设AB=a,BP=b,求a:b及AEC的度数.

【答案】(1)证明见解析;(2)ACE是直角三角形;(3):1,45°

【解析】

试题分析:(1)由正方形的性质证明APE≌△CFE,可得结论;

(2)分别证明PAE=45°和BAC=45°,则CAE=90°,即ACE是直角三角形;

(3)分别计算PG和BG的长,利用平行线分线段成比例定理列比例式得:,即,解得:a=b,得出a与b的比,再计算GH和BG的长,由角平分线的逆定理得:HCG=BCG,由平行线的内错角得:AEC=ACB=45°.

试题解析:(1)四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,AB=BC,BP=BF,AP=CF,在APE和CFE中,AP=CF,P=F,PE=EF∴△APE≌△CFE,EA=EC;

(2)ACE是直角三角形,理由是:

如图2,P为AB的中点,PA=PB,PB=PE,PA=PE,∴∠PAE=45°,又∵∠BAC=45°,∴∠CAE=90°,即ACE是直角三角形;

(3)设CE交AB于G,EP平分AEC,EPAG,AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a,PECF,,即,解得:a=b,a:b=:1,作GHAC于H,∵∠CAB=45°,HG=AG=(2b﹣2b)=(2﹣)b,又BG=2b﹣a=(2﹣)b,GH=GB,GHAC,GBBC,∴∠HCG=BCG,PECF,∴∠PEG=BCG,∴∠AEC=ACB=45°.

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例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣16﹣24﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=

(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.

求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;

(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1xy9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;

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