【题目】已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.
(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)如图2,若点P在线段AB的中点,连接AC,判断△ACE的形状,并说明理由;
(3)如图3,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a,BP=b,求a:b及∠AEC的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)△ACE是直角三角形;(3):1,45°.
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质证明△APE≌△CFE,可得结论;
(2)分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°,则∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
(3)分别计算PG和BG的长,利用平行线分线段成比例定理列比例式得:,即,解得:a=b,得出a与b的比,再计算GH和BG的长,由角平分线的逆定理得:∠HCG=∠BCG,由平行线的内错角得:∠AEC=∠ACB=45°.
试题解析:(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,∴AB=BC,BP=BF,∴AP=CF,在△APE和△CFE中,∵AP=CF,∠P=∠F,PE=EF,∴△APE≌△CFE,∴EA=EC;
(2)△ACE是直角三角形,理由是:
如图2,∵P为AB的中点,∴PA=PB,∵PB=PE,∴PA=PE,∴∠PAE=45°,又∵∠BAC=45°,∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
(3)设CE交AB于G,∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a,∵PE∥CF,∴,即,解得:a=b,∴a:b=:1,作GH⊥AC于H,∵∠CAB=45°,∴HG=AG=(2b﹣2b)=(2﹣)b,又∵BG=2b﹣a=(2﹣)b,∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,∴∠HCG=∠BCG,∵PE∥CF,∴∠PEG=∠BCG,∴∠AEC=∠ACB=45°.
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【题目】以下五个命题:①对顶角相等;②内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④0的立方根是0;⑤无限不循环小数是无理数.其中真命题的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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【题目】已知函数(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(﹣1,1)
B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
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【题目】综合:
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,BM之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若DN=3 ,BM=3 ,求MN的长.
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【题目】我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)=.
例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.
求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;
(3)在(2)所得“吉祥数”中,求F(t)的最大值.
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【题目】【感知】如图①,四边形ABCD、CEFG均为正方形.可知BE=DG. 【拓展】如图②,四边形ABCD、CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.
【应用】如图③,四边形ABCD、CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,则菱形CEFG的面积为
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