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【题目】综合:
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;

(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,BM之间的数量关系,并说明理由.

(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若DN=3 ,BM=3 ,求MN的长.

【答案】
(1)解:如图①,

在Rt△ABE和Rt△AGE中,

∴△ABE≌△AGE(HL),

∴∠BAE=∠GAE,

同理∠GAF=∠DAF,

∴∠EAF= =45°;


(2)解:如图②,

∵∠BAD=90°,AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB=45°,

由题意知△ABM≌ADH,

∴∠ADH=∠ABM=45°,AH=AM,

∴∠BDH=90°,

∵∠MAN=45°,

∴∠BAM+∠DAN=45°,

∴∠DAN+∠DAH=45°,

即∠NAH=45°,

在△AMN和△AHN中,

∴△AMN≌△AHN(SAS),

∴HN=MN,

在Rt△NDH中,NH2=DH2+ND2

∴MN2=BM2+DN2


(3)解:如图③,由(2)中结论可知:MN2=BM2+DN2

∵DN=3 ,BM=3

∴MN= =9.


【解析】(1)由HL证明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可,只需证明一对全等,另一对同理可证;(2)先证明△AMN≌△AHN,进而证明△NHD是直角三角形即可;(3)利用(2)中结论建立方程,解之即可.

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