Question

【题目】定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P 的坐标；

（2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；

（3） 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

试题分析：（1）易证点P是三角形MON的自相似点，过点P作PD⊥x轴于D点根据M、N坐标易知∠MNO=90°，再利用三角函数可求出P点坐标；（2）根据坐标发现ON=MN=2，要找自相似点只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分别画出图形，根据图形性质，结合相似可求出自相似点的坐标；（3）根据前两问可发现，要想有自相似点，其实质就是在大角里面做小角，当三个角都相等时，即△OMN为等边三角形时，不存在自相似点，因此可得到直线OM的解析式y=x，与的交点就是M，从而可以求得N的坐标.

试题解析：(1)在△ONP和△OMN中，

∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON

∴△ONP∽△OMN

∴点P是△M0N的自相似点.

过点P作PD⊥x轴于D点．

∴.

∵，

∴, ∴.

在Rt△OPN中，.

.

. ∴.

（2）①如图2，过点M作MH⊥x轴于H点,

∵ ,

∴，直线OM的表达式为．

∵是△M0N的自相似点，∴△∽△NOM

过点作⊥x轴于Q点，

∴

∵的横坐标为1，∴ ∴．

如图3，△∽△NOM ，

∴ ∴ ．

∵的纵坐标为，

∴ ∴,

∴．

综上所述，或．

（3）存在，．