Question

15．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=$\frac{5}{2}$．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃．
作CH⊥x轴于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用、等腰三角形的性质的运用，利用分类讨论得出P点坐标是解题关键．