Question

17．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）；第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）； 第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）．
（2）用含n的式子表示第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{1}{2n+1}$）（n为正整数）．
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出分母的变化规律，进而得出答案；
（2）根据题意得出分母的变化规律，进而得出答案；
（3）利用（2）中变化规律进而化简求出答案．

解答 解：（1）第5个等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
故答案为：$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；

（2）第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{1}{2n+1}$）；
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{1}{2n+1}$）；

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₆
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4031}$-$\frac{1}{4033}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4033}$）
=$\frac{2016}{4033}$．

点评 此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．