Question

16．如图，在平面直角坐标系中．直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，tan∠CAB=3
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值；
（3）先将抛物线配方成顶点式求M（1，4），利用待定系数法求直线MB的解析式，利用解析式分别表示N、Q两点的坐标；
分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，证明△EMQ≌△FQN，根据全等三角形的性质EM=FQ，EQ=FN，列方程组解出即可；
②当N在射线BM上时，如图3，同理可求得点N的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
当y=0时，-x+3=0，
x=3，
∴B（3，0），
在Rt△AOC中，tan∠CAB=3，
∴$\frac{OC}{OA}$=3，
∴$\frac{3}{OA}$=3，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3-m，PE=n，
S=S_梯形COEP+S_△PEB=$\frac{1}{2}$OE（PE+OC）+$\frac{1}{2}$BE•PE，
=$\frac{1}{2}$m（n+3）+$\frac{1}{2}$n（3-m），
=$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$n，
∵n=-m²+2m+3，
∴S=$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$+$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值是$\frac{63}{8}$；
（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）2+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
设N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），
分两种情况：
①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-n=-n+3-（-2a+6）}\\{4-（-n+3）=a-n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当a=2时，y=-2a+6=-2×2+6=2，
∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，
同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-n+a=-n+3-4}\\{-2a+6-（-n+3）=-n+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴N（-1，8），
综上所述，点N的坐标为（2，2）或（-1，8）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式；还考查了二次函数的性质、全等三角形的性质和判定，注意根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解．