Question

【题目】如图，射线上有三点、、，满足， ， ，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.

(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?

(2)当在线段上且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，

求点的运动速度;

(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）30秒；（2）或；（3）2.

【解析】试题分析:(1)从题中我们可以看出点P及Q是运动的,不是静止的,当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上,而且PA=40,PB=20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间,点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点,这里的三等分点是二个点,因此此题就有二种情况,分别是AQ=时,BQ=时,由此就可求出它的速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s,经过多长时间P,Q两点相距70cm,这也有两种情况即当它们相向而行时,和它们直背而行时,此题可设运动时间为t秒,按速度公式就可解了．
（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了,但必须借助图形．

试题解析:（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60,可求得PA=40,OP=60,故点P运动时间为60秒．

若AQ=时,BQ=40,CQ=50,点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）,

若BQ=时,BQ=20,CQ=30,点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．

②点P在线段AB延长线上时,由PA=2PB及AB=60,可求得PA=120,OP=140,故点P运动时间为140秒．

若AQ=时,BQ=40,CQ=50,点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）

若BQ=时,BQ=20,CQ=30,点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．

（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70,t=5或40,

∵点Q运动到O点时停止运动,

∴点Q最多运动30秒,当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm,之后点P继续运动40秒,则PQ=OP=70cm,此时t=70秒,故经过5秒或70秒两点相距70cm,

（3）如图1,设OP=xcm，点P在线段AB上,20≤x≤80, OB－AP=80－（x－20）=100-x,

EF=OF－OE=（OA+AB）－OE=（20+30）－- =50- ,

∴==2．

如图2,设OP=xcm,点P在线段AB上,20≤x≤80,OB－AP=80－（x－20）=100-x,

EF=OF－OE=（OA+AB）－OE=（20+30）－- =50- ,

∴==2．