Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，且A（10，0）、C（0，8）

（1）如图1，在矩形OABC的边AB上取一点E，连接OE，将△AOE沿OE折叠，使点A恰好落在BC边上的F处，求AE的长；

（2）将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN（其它边保持不变），M、N分别在边OA、CB上且满足CN＝OM＝OC＝MN．如图2，P、Q分别为OM、MN上一点．若∠PCQ＝45°，求证：PQ＝OP+NQ；

（3）如图3，S、G、R、H分别为OC、OM、MN、NC上一点，SR、HG交于点D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的长．

Answer 1

【答案】（1）AE＝5；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）设，在中，根据勾股定理列方程解出即可；
（2）作辅助线，构建两个三角形全等，证明和，由，得出结论；
（3）作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得和，则，，证明和，得，设，在中，根据勾股定理列方程求出EN的长，再利用勾股定理求CE，则SR与CE相等，即可得出结论．

（1）如图1，由题意得：，，

设，则，，

在中，，

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得：，

解得：，

∴；

（2）如图2，在PO的延长线上取一点E'，使，

∵，，

∴四边形OMNC是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

②如图3，过C作，在x轴负半轴上取一点E′，使，得，

且，则，

过C作交OM于F，连接FE，得，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

在中，，，

根据勾股定理得：，

∴，

设，则，，

则，

解得：，

∴，

根据勾股定理得：，

∴．