【题目】如图,在矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标是,将
沿直线BD折叠,使得点C落在对角线OB上的点E处,折痕与OC交于点D.
(1)求直线OB的解析式及线段OE的长.
(2)求直线BD的解析式及点E的坐标.
【答案】(1)直线OB的解析式为,
;(2)直线BD的解析式为
,
.
【解析】
(1)先利用待定系数法求直线OB的解析式,再利用两点间的距离公式计算出OB,然后根据折叠的性质得到BE=BC=6,从而可计算出OE=OB-BE=4;
(2)设D(0,t),则OD=t,CD=8-t,根据折叠的性质得到DE=DC=8-t,∠DEB=∠DCB=90°,根据勾股定理得(8-t)2+42=t2,求出t得到D(0,5),于是可利用待定系数法求出直线BD的解析式;设E(x,),利用OE=4得到x2+(
)2=42,然后解方程求出x即可得到E点坐标.
解:(1)设直线OB的解析式为,
将点代入
中,得
,
∴,
∴直线OB的解析式为.
∵四边形OABC是矩形.且,
∴,
,
∴,
.
根据勾股定理得,
由折叠知,.
∴
(2)设D(0,t)
,
∴,
由折叠知,,
,
在中,
,
根据勾股定理得,
∴,
∴,
∴,
.
设直线BD的解析式为.
∵,
∴,
∴,
∴直线BD的解析式为.
由(1)知,直线OB的解析式为.
设点,
根据的面积得
,
∴,
∴.
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【题目】(1)探究:哪些特殊的角可以用一副三角板画出?
在①,②
,③
,④
中,小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________;(填序号)
(2)在探究过程中,爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图,他先用三角板画出了直线,然后将一副三角板拼接在一起,其中
角(
)的顶点与
角(
)的顶点互相重合,且边
、
都在直线
上.固定三角板
不动,将三角板
绕点
按顺时针方向旋转一个角度
,当边
与射线
第一次重合时停止.
①当平分
时,求旋转角度
;
②是否存在?若存在,求旋转角度
;若不存在,请说明理由.
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【题目】问题提出:
某校要举办足球赛,若有5支球队进行单循环比赛(即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场),则该校一共要安排多少场比赛?
构建模型:
生活中的许多实际问题,往往需要构建相应的数学模型,利用模型的思想来解决问题.
为解决上述问题,我们构建如下数学模型:
(1)如图①,我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上),其中每个点各代表一支足球队,两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场,即每个点与另外4个点都可连成一条线段,这样一共连成5×4条线段,而每两个点之间的线段都重复计算了一次,实际只有 条线段,所以该校一共要安排 场比赛.
(2)若学校有6支足球队进行单循环比赛,借助图②,我们可知该校一共要安排__________场比赛;
…………
(3)根据以上规律,若学校有n支足球队进行单循环比赛,则该校一共要安排___________场比赛.
实际应用:
(4)9月1日开学时,老师为了让全班新同学互相认识,请班上42位新同学每两个人都相互握一次手,全班同学总共握手________________次.
拓展提高:
(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车,中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站(每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称),那么在这段线路上往返行车,要准备车票的种数为__________种.
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【题目】为发展校园足球运动,某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备,市场调查发现:甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球,已知每套队服比每个足球多50元,两套队服与三个足球的费用相等,经洽谈,甲商场优惠方案是:每购买十套队服,送一个足球;乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套,则购买足球打八折.
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少?
(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球,请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用;
(3)假如你是本次购买任务的负责人,你认为到哪家商场购买比较合算?
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【题目】在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.
(1)奋进小组用图1中的矩形纸片ABCD,按照如图2所示的方式,将矩形纸片沿对角线AC折叠,使点B落在点处,则
与
重合部分的三角形的类型是________.
(2)勤学小组将图2中的纸片展平,再次折叠,如图3,使点A与点C重合,折痕为EF,然后展平,则以点A、F、C、E为顶点的四边形是什么特殊四边形?请说明理由.
(3)创新小组用图4中的矩形纸片ABCD进行操作,其中,
,先沿对角线BD对折,点C落在点
的位置,
交AD于点G,再按照如图5所示的方式折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M.则EM的长为________cm.
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【题目】如图,抛物线与直线
相交于
,
两点,且抛物线经过点
.
求抛物线的解析式;
点P是抛物线上的一个动点
不与点A、点B重合
,过点P作直线
轴于点D,交直线AB于点E.
当
时,求P点坐标;
是否存在点P使
为等腰三角形?若存在请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图①②所示,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起.
(1)若,如图①,请求出
的度数;
(2)若,如图②,请求出
的度数;
(3)猜想:和
的关系(请直接写出答案即可)
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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