Question

19．如图，菱形ABCD的周长为32，∠C=120°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为别为E、F，连结EF，则△AEF的面积是（　　）

• A． 8
• B． $8\sqrt{3}$
• C． $12\sqrt{3}$
• D． $16\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用菱形的性质得到BC=CD=AB=AD=8，∠B=60°，∠D=60°，则可判断△ABC和△ACD都为等边三角形，则根据等边三角形的性质得∠EAC=30°，∠FAC=30°，CE=BE=4，CF=FD=4，所以∠EAF=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得AE=$\sqrt{3}$CE=4$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$CF=4$\sqrt{3}$，于是可判断△AEF为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解．

解答 解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴BC=CD=AB=AD=8，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，∠D=60°，
∴△ABC和△ACD都为等边三角形，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠EAC=30°，∠FAC=30°，CE=BE=4，CF=FD=4，
∴∠EAF=60°，AE=$\sqrt{3}$CE=4$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$CF=4$\sqrt{3}$，
∴△AEF为等边三角形，
∴△AEF的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（4$\sqrt{3}$）²=12$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 解决此题的关键是判断△ABC和△ACD为等边三角形．