Question

9．观察下列各式
2¹-2⁰=2⁰       2²-2¹=2¹   2³-2²=2²     2⁴-2³=2³…．
①探索式子的规律，试写出第n个等式2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
②计算2^m-2^m-1，并运用该结果，计算2²⁰⁰⁰-2¹⁹⁹⁹-2¹⁹⁹⁸-…-2；
③计算：2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 ①根据式子的规律，可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
②利用①的结论递推得出答案即可；
③把式子乘（2-1）递推得出答案即可．

解答 解：①∵2¹-2⁰=2⁰，②2²-2¹=2¹，③2³-2²=2²…
∴第n（n为正整数）个等式可表示为：2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n为正整数）．
②2²⁰⁰⁰-2¹⁹⁹⁹-2¹⁹⁹⁸-…-2
=2¹⁹⁹⁹-2¹⁹⁹⁸-…-2
=2¹⁹⁹⁸-…-2
=2．
③2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵
=（2-1）（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵）
=2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶-（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵）
=2²⁰¹⁶-1．

点评 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字次数的变化规律是解题关键．