Question

1．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=2，试求$\widehat{EG}$的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；
（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=2$\sqrt{3}$，∠GDE=∠BAF=30°，根据弧长公式求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°=∠B，
在△ABF和△DEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DAE}\\{∠B=∠DEA}\\{AF=AD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴DE=AB；

（2）解：∵BC=AD，AD=AF，
∴BC=AF，
∵BF=2，∠ABF=90°，
∴由勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠BAF=30°，
∵△ABF≌△DEA，
∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=2$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{EG}$的长为$\frac{30π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．