Question

已知A、B为y=-2x-6的两点，且AB=2，点C在y=x²-6x+5上，求△ABC的最小面积．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解．

解答：解：设直线y=-2x-6与x轴，y轴分别交于点M，点N，
令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-2，
∴M（-3，0），N（0，-6）．
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3

5

，
∴tan∠MNO=

OM

ON

=

1

2

，sin∠MNO=

OM

MN

=

5

5

．
设点C坐标为（x，y），则y=x²-6x+5．
过点C作CD⊥y轴于点D，
则CD=x，OD=-y，DN=6+y．
过点C作直线y=-2x-6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=

1

2

x，CF=

DF

sin∠DCF

=

DF

sin∠MNO

=

1 2 x

5 5

=

5

2

x．
∴FN=DN-DF=6+y-

1

2

x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=

5

5

（6+y-

1

2

x），
∴CE=CF+EF=

5

2

x+

5

5

（6+y-

1

2

x）．
∵C（x，y）在抛物线上，
∴y=x²-6x+5，代入上式整理得：CE=

5

5

（x²-4x+11）=

5

5

（x-2）²+

7 5

5

．
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为

7 5

5

．
∴△ABC的最小面积为：

1

2

AB•CE=

1

2

×2×

7 5

5

=

7 5

5

．

点评：考查了二次函数的性质、锐角三角函数及最值问题，涉及的考点比较多，能确定什么情况下有最大值是解答本题的关键，难度较大．