Question

5．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若$\widehat{EF}$=$\widehat{DE}$，如图1．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
 

Answer 1

分析 （1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．

解答 解：（1）△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵$\widehat{EF}$=$\widehat{DE}$，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AE=$\sqrt{{AC}^{2}{-CE}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AM=4$\sqrt{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了等腰三角形的性质，考查了圆的切线的性质，本题中求DF∥BC是解题的关键．