Question

如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．

Answer 1

证明：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°．
∴∠A=∠ABD，
∴DA=DB．
∴点D在AB的垂直平分线上．
分析：要证明点D在线段AB的垂直平分线上，只需证明AD=BD．首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABC=60°，再根据角平分线的定义，求得∠ABD=30°，从而根据等角对等边即可证明AD=BD．
点评：此题综合运用了三角形的内角和定理、角平分线定义、等腰三角形的判定以及线段垂直平分线性质定理的逆定理．