Question

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形？若存在，求出BM的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出结论；
（2）延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论；   
（3）首先判定存在，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，证得△ABP≌△DAM，进一步球的结论即可．

解答：（1）证明：如图，

过点F作FH⊥BE于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°
∴∠FPH=∠BAP
在△BAP和△HPF中，∠ABP=∠PHF
在△BAP和△HPF中，

∠ABP=∠PHF ∠BAP=∠FPH AP=PF

，
∴△BAP≌△HPF（AAS） 
∴PH=AB，BP=FH
∴PH=BC
∴BP+PC=PC+CH
∴CH=BP=FH   …
而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°
∴∠DCF=90°-45°=45°
∴∠GCF=∠FCE；
（2）PG=PB+DG 
证明：如图，

延长PB至K，使BK=DG，连接AK，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°
在△ABK和△ADG中，

AB=AD ∠ABK=∠ADG BK=DG

，
∴△ABK≌△ADG（SAS）  
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF
∴∠PAF=∠PFA=45°
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF
在△KAP和△GAP中，

AK=AG ∠KAP=∠GAP AP=AP

，
∴△KAP≌△GAP（SAS）   
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG
即，PG=PB+DG； 
（3）存在．
如图，

在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，
则MD∥PF，且MD=FP
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM=90°
在Rt△ABP和Rt△DAM中   

MD=AP AB=AD

∴Rt△ABP≌Rt△DAM（HL）   
∴AM=BP=2，
∴BM=AB-AM=5-2=3．
∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

点评：此题考查了正方形的性质，结合了三角形全等的判定与性质，属于综合性比较强的题目，并涉及到探究性试题，解决本类试题要先求解，然后给出结论，再进行证明．