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【题目】在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,抛物线yax22ax3ax轴交于点BC,与y轴交于点A,点A的坐标为(0),点D为抛物线的顶点.

(1)如图1,求拋物线的顶点D的坐标;

(2)如图2,点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点,连接PB,过点DDQBP于点H,交x轴于点Q,设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为n,求nm的函数关系式;

(3)如图3,在(2)的条件下,过点CCEy轴交BP的延长线于点E,点FCE的中点,连接FQ,若∠DQC+CQF135°,求点P的坐标.

【答案】(1)D(12)(2)n4m(3)P()

【解析】

1)将点A代入抛物线解析式可求出a,抛物线解析式和顶点D可求.

2)分别过点DPx轴的垂线,可得到三角形相似,用点坐标转换线段长度,列比例关系就可以得到mn的函数关系.

3)用点坐标转换为线段长度,可以得到相关线段的长度相等,从而得到全等三角形及相似三角形,列比例关系就可以得到点P的坐标.

(1)将点A(0)代入抛物线中,

3a

解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+

∵﹣1,解得y2

D(12)

(2)如图1所示,过点DDH垂直于x轴于点H,过点PPN垂直于x轴于点N

DH2QHn1PNBNm+1

∵△BPN∽△DHQ

,即

解得n4m

(3)如图2所示,

D(12)Q(4m0)C(30)B(10)

BN2DN2NQ3m

∵∠BNG=∠DNQ,∠NDQ=∠GBN

∴△BGN≌△DNQ(ASA)

GNNQ3m

连接GQ

∴∠GQN45°

∵∠DQC+FQC135°

∴∠GQD=∠FQC

DGm1

过点Py轴的平行线PM,过点Dx轴的平行线交MP于点M,连接MG

MDm1

MDDG

∴∠DGM45°

∵∠NGQ45°

∴∠MGQ90°

∴∠MGP=∠GQD=∠FQC

连接GFGFBC

∴∠GFQ=∠FQC=∠MGP,∠FGQ=∠GMP45°

∴△GMP∽△GQF

,

解得m11()m2

m

P()

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