Question

16．如图：P是?ABCD的边AD的中点，且PB=PC．求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥DC，推出∠D+∠A=180°，根据SSS证△ABP≌△DCP，推出∠D=∠A，求出∠D=90°，根据矩形的判定推出即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠D+∠A=180°，
∵P是DA边的中点，
∴AP=PD，
在△ABP和△DCP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{AB=DC}\\{BP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCP（SSS），
∴∠D=∠A，
∵∠D+∠A=180°，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．