Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为MN（点M、N分别在边AC、BC上）.给出以下判断：

①当MN∥AB时，CM=AM；

②当四边形CMDN为矩形时，AC=BC；

③当点D为AB的中点时，∠CMN＝∠B；

④当∠CMN＝∠B时，点D为AB的中点；

其中正确的是__.（把所有正确结论序号都填在横线上）.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】①∵MN∥AB，

∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，

由翻折变换的性质可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，

∴∠CAB=∠MDA，

∴AM=DM，

∴CM=AM，故①正确；

②根据折叠的性质得到CE=DE，矩形CEDF是正方形，

又任意一个直角三角形都有一个内接正方形满足题意，

故②错误；

③当点D是AB的中点时，∠CMN＝∠B，

理由如下：如图2,连接CD,与EF交于点Q,

∵CD是Rt△ABC的中线，

∴CD=DB=AB，

∴∠DCB=∠B，

由轴对称的性质可知,∠CQF=∠DQF=90°，

∴∠DCB+∠CFE=90°，

∵∠B+∠A=90°，

∴∠CFE=∠A，

又∵∠C=∠C，

∴△CEF∽△CBA；

∴∠CMN＝∠B，

故③正确；

④∵当∠CMN＝∠B时

∴△CEF与△ABC相似，

∴∠EFD=∠CAB,∠EDF=∠ECF=90°，

∴C，E，D，F四点共圆，

∴∠ACD=∠EFD，

∴∠ACD=∠A，

∴AD=CD，同理CD=BD，

∴点D为AB的中点,故④正确，

故答案为：①③④.

点睛: 本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题，勾股定理和全等三角形的判定与性质，难度适中,运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．