Question

6．如图，已知点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$在第一象限上运动，过点O作OB⊥OA，当tanA=$\sqrt{2}$时，点B恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第二象限的图象上，则k的值为-4．

Answer 1

分析 过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．设设A（x，$\frac{2}{x}$）（x＞0），则ON•AN=2，由tan∠A=$\sqrt{2}$，可得出$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$．通过△MBO∽△NOA的对应边成比例求得k=-OM•BM=-4．

解答 解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，$\frac{2}{x}$）（x＞0），ON•AN=2．
∵tan∠A=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA，∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$ON，OM=$\sqrt{2}$AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-OM•BM=-$\sqrt{2}$ON×$\sqrt{2}$AN=-4．
故答案为-4．

点评 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出B的坐标．