Question

5．已知，AB是⊙O的直径，点P，C是⊙O上的点，△APO≌△CPO，
（I）如图①，若∠PCB=36°，求∠OPC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作AP的垂线DE，垂足为点D，且CD是⊙O的切线，若PD=1，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等，圆的半径都相等，由∠PCB=36°，可以推出∠OPC的大小；
（2）根据题意可以得到OC∥AD，从而可以得到∠POA与∠POC的关系，从而可以得到△OCP的形状，由PD=1，通过转化可以得到CP的长，从而可以得到⊙O的直径．

解答 解：（1）∵△APO≌△CPO，
∴∠A=∠PCO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠PCO=∠PCB，
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠PCO，
∴∠OPC=∠PCB，
又∵∠PCB=36°，
∴∠OPC=36°；
（2）∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴DE⊥OC，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
∵DE⊥AD
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠OCE，
∴AD∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∵△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
∴∠POC=∠CPO，
∴OC=PC，
∵OC=OP，
∴OC=OP=PC，
∴△OPC是等边三角形，
∴∠OCP=60°，OC=PC，
∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=∠OCD-∠PCO=30°，
∵∠ADE=90°，PD=1，
∴PC=2PD=2，
∵OC=PC，
∴OC=2，
∴⊙O的直径是4．

点评 本题考查切线的性质、全等三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．