Question

10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E为边AB上的点，且AD=BE，点M、N分别为边AC、BC上的点，已知AB=a，DE=b，则四边形DMNE的周长的最小值为（　　）

• A． a
• B． 2a-b
• C． a+b
• D． a+2b

Answer 1

分析 作点D关于AC的对称点G，点E关于BC的对称点H，连接AG、BH、GH，GH与AC交于点M，与BC交于点N，此时四边形DMNE的周长=DM+MN+NE+DE=GM+MN+NH+DE=GH+DE最小，接下来只要证明四边形AGHB是平行四边形即可解决问题．

解答 解：如图作点D关于AC的对称点G，点E关于BC的对称点H，连接AG、BH、GH，GH与AC交于点M，与BC交于点N，
此时四边形DMNE的周长=DM+MN+NE+DE=GM+MN+NH+DE=GH+DE最小（两点之间线段最短），
∵AG=AD，BE=BH，AD=EB，
∴AG=BH，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠GAM=∠CAB，∠CBH=∠CBA，
∴∠GAB+∠HBA=180°，
∴AG∥BH，
∴四边形AGHB是平行四边形，
∴GH=AB=a，
∴四边形DMNE的周长的最小值=GH+DE=a+b．
故选C．

点评 本题考查轴对称-最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键利用轴对称性质，根据两点之间线段最短正确找到点M、N的位置，属于中考常考题型．