Question

22、（1）如图，给出四个条件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③AE⊥EB，④AB=AD+BC．请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出AD∥BC的正确命题，并加以证明；
（2）请你判断命题“如图，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC．”是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明AD∥BC，无非是要证明∠D和∠C互补，可以通过构建全等三角形来将∠D和∠C转换成一组互补角．从而得出平行的结论．可在AB上取点M，使AM=AD，关键是证三角形AME，AED以及三角形MEB、BEC全等，那么缺什么条件，就选什么条件．
（2）不正确，根据（1）的推理过程，E是CD中点，是得不出两三角形全等的．因此不正确．

解答：解：（1）如：①②④?AD∥BC．
证明：在AB上取点M，使AM=AD，
连接EM，∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE．
又∵AM=ADAE=AE，
∴△AEM≌△AED．
∴∠D=∠AME．
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC．
∴△BEM≌△BCE．
∠C=∠BME，
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°．
∴AD∥BC．

（2）不正确．
作等边三角形ABM，
AE平分∠BAM，BE平分∠ABM，
且AE、BE交于E，
连接EM，则EM⊥AB，
过E作ED∥AB交AM于D，交BM与C，
则E是CD的中点．
而AD和BC相交于点M．
∴命题：“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是不正确的．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，本题中通过全等三角形来得出角相等，是解题的关键．