Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当

AE

AD

=

1

4

时，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF；
（2）根据AD=4AE和已知条件可以求出AE=GC=2，设EF=x，则BF=10-CF=10-x，BE=6，在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，即可求出EF的长．

解答：（1）证明：过D作DG⊥BC于G，
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∠ADE=∠GDC AD=DG ∠DGC=∠DAE

，
∴△ADE≌△GDC（ASA）
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF；

（2）解：∵

AE

AD

=

1

4

，
∴AD=4AE，
∵AB=AD=8，
∴AE=GC=2，
∴BC=10，BE=6，
设CF=EF=x，则BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得x=6.8，
即CF=6.8．

点评：本题考查了梯形、正方形、直角三角形的相关知识，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．