Question

8．已知EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的角平分线于点B，作∠CAE的角平分线交MN于点D．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）因为NM∥EF，只要证明AD∥BC即可证明．
（2）由四边形ABCD是菱形，推出∠DAC=∠CAB，由∠EAD=∠DAC，推出∠DAC=∠EAD=∠CAB=$\frac{1}{3}×180°$=60°，即可解决问题．

解答 解：（1）∵EF∥MN，
∴∠ACN=∠EAC，
∵CB平分∠ACN，AD平分∠EAC，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACN，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠EAD=∠CAB=$\frac{1}{3}×180°$=60°，
∴∠ABC=∠DAE=60°．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．