Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM；
（2）当t为何值时，△ABC与△AMN相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）由条件可知AM=12-t，AN=2t，利用条件可得到AM=AN，从而可得到关于t的方程，可求出t；
（2）当∠MNA=90°时，可得

AN

AC

=

AM

AB

，当∠NMA=90°时，有

AN

AB

=

AM

AC

，分别代入可得到关于t的方程，可求得t．

解答：解：
（1）∵BC=5米，AC=12米，
∴AM=12-t，AN=2t，
若∠AMN=∠ANM，则AM=AN，
即12-t=2t，
解得t=4秒
即当t为4秒时，∠AMN=∠ANM；
（2）∵∠C=90°，
∴当△ABC和△AMN相似时，有∠MNA=90°和∠NMA=90°两种情况，且可求得AB=13，
当∠MNA=90°时，可得

AN

AC

=

AM

AB

，即

2t

12

=

12-t

13

，解得t=

72

19

；
当∠NMA=90°时，可得

AN

AB

=

AM

AC

，即

2t

13

=

12-t

12

，解得t=

156

37

；
即当t为

72

19

秒或

156

37

秒时，△ABC与△AMN相似．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用时间t表示出线段的长，化动为静是这类问题的一般思路．