Question

9．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，
∵BF=DH，
∴AH=CF，
在Rt△AEH中，EH=$\sqrt{A{E}^{2}+A{H}^{2}}$，
在Rt△CFG中，FG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{F}^{2}}$，
∵AE=CG，
∴EH=FG，
同理：EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，
设AE=x，则BE=x+1，
在Rt△BEF中，∠BEF=45°，
∴BE=BF，
∵BF=DH，
∴DH=BE=x+1，
∴AH=AD+DH=x+2，
在Rtt△AEH中，
tan∠AEH=2，
∴AH=2AE，
∴2+x=2x，
解得：x=2，
∴AE=2．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．