Question

17．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P₁P₂=$\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}$他还利用图2证明了线段P₁P₂的中点P（x，y）P的坐标公式：x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，-1），N（-3，5），则线段MN长度为$\sqrt{61}$；
②直接写出以点A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：（-3，3）或（7，1）或（-1，-3）；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）用P₁、P₂的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．

解答 解：
（1）∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴Q₁Q₂=OQ₂-OQ₁=x₂-x₁，
∴Q₁Q=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$，
∴OQ=OQ₁+Q₁Q=x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
∵PQ为梯形P₁Q₁Q₂P₂的中位线，
∴PQ=$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}+{P}_{2}{Q}_{2}}{2}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
即线段P₁P₂的中点P（x，y）P的坐标公式为x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$；
（2）①∵M（2，-1），N（-3，5），
∴MN=$\sqrt{（2+3）^{2}+（-1-5）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
故答案为：$\sqrt{61}$；
②∵A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），
设D（x，y），则x+3=0，y+（-1）=2，解得x=-3，y=3，
∴此时D点坐标为（-3，3），
当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），
当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（-1，-3），
综上可知D点坐标为（-3，3）或（7，1）或（-1，-3），
故答案为：（-3，3）或（7，1）或（-1，-3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，

又对称性可知EP=EM，FP=FN，
∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，
∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，
设R（x，$\frac{4}{3}$x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4}{3}x）^{2}}$=2，解得x=-$\frac{6}{5}$（舍去）或x=$\frac{6}{5}$，
∴R（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴$\sqrt{（2-\frac{6}{5}）^{2}+（n-\frac{8}{5}）^{2}}$=n，解得n=1，
∴P（2，1），
∴N（2，-1），
设M（x，y），则$\frac{x+2}{2}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{y+1}{2}$=$\frac{8}{5}$，解得x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{11}{5}$，
∴M（$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$），
∴MN=$\sqrt{（2-\frac{2}{5}）^{2}+（-1-\frac{11}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
即△PEF的周长的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得OQ和PQ的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3）中确定出E、F的位置，求得P点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．