Question

15．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}x$与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求点B的坐标；
（2）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q两点，其中点P位于第一象限，若点P到坐标轴的距离为1，求由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积．

Answer 1

分析 （1）将x=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AAOC面积=三角形COD面积+梯形AEDC面积-三角形AOE面积，求出即可；
（3）由（1）可知点A、点B关于原点对称，同理，点P、点Q关于原点对称，于是得到由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形是平行四边形，由点P与 坐标轴距离为1，得到分为点P与x轴距离为1和点P与y轴距离为1两种情况：①当点P在点A与x轴的距离为1右侧时，则可得点P（8，1），同（2）得S_△AOP=15，于是得到S_{平行四边形AQBP}=4S_△AOP=60，②当点P与y轴距离为1时，可得P（1，8），此时S_△AOP=6于是得到S_{平行四边形AQBP}=4S_△AOP=24．

解答 解：（1）将x=4代入y=$\frac{1}{2}$x=2，即A（4，2），
将A（4，2）代入反比例解析式得：k=8，
∴反比例解析式为：y=$\frac{8}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-4．-2）；

（2）如图1，过C作CD⊥x轴，作AE⊥x轴，
将y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×1×8+$\frac{1}{2}$×（2+8）×3-$\frac{1}{2}$×4×2=15；

（3）如图2，由（1）可知点A、点B关于原点对称，同理，点P、点Q关于原点对称，
∴由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形是平行四边形，
∵点P与 坐标轴距离为1，
∴分为点P与x轴距离为1和点Py轴距离为1两种情况：
①当点P在点A与x轴的距离为1右侧时，
则可得点P（8，1），
同（2）得S_△AOP=15，
∴S_{平行四边形AQBP}=4S_△AOP=60，
②当点P与y轴距离为1时，可得P（1，8），
此时S_△AOP=6
∴S_{平行四边形AQBP}=4S_△AOP=24，
综上，当点P与坐标轴距离为1时，点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积是60或24．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，三角形面积公式以及点到直线的距离公式等知识点．