Question

【题目】问题背景：如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD= ∠BAC=60°,于是 = ；

迁移应用：如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.

①证明△CEF是等边三角形；

②若AE=5，CE=2，求BF的长。

Answer 1

【答案】迁移应用①见解析；②CD=AD+BD；拓展延伸①见解析；②3

【解析】

迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；

②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解决问题；

拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；

②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BHF=30°，可得

=cos30°，由此即可解决问题．

迁移应用：①证明：如图②

∵∠BAC=∠ADE=120°，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②结论：CD=AD+BD.

理由：如图21中，作AH⊥CD于H.

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中,DH=ADcos30°=AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.

拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE.

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等边三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C关于BM对称，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D. E. C四点共圆，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等边三角形，

②∵AE=5，EC=EF=2，

∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中,∵∠BHF=30°，

∴ =cos30°，

∴BF= .