Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，∠ACB = 90，点D为CB延长线上一点，过A作AE⊥AD，且AE = AD，BE与AC的延长线交于点P，求证：PB = PE.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

作EM⊥AP于M，证△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，证△ADC≌△EAM，推出即可；

法1：过E作EF⊥AC，垂足为F，连接BF，CE

∵ AE⊥AD，ACB = 90

∴ EAF + CAD = 90，D + CAD = 90

∴ EAF = D

又∵ AFE = ACB = 90，AE = AD

∴ △AFE ≌△DCA（AAS）

∴ EF=AC=BC

∵ BC⊥AC，EF⊥AC

∴ EF∥BC

∴ EFBC

∴ 四边形BCEF为平行四边形

∴ PB = PE.

法2：∵ AD = AE且AD⊥AE

∴ 可将△ADB绕点A逆时针旋转90至△AEH，

由旋转性质得AH = AB且AH⊥AB

∴ △BAH为等腰直角三角形，ABH = 45

又∵ △ACB中，ACB = 90，AC = BC

∴ ABC = 45

∴ ABH = ABC，则B、C、H三点共线

∴ AP垂直平分BH

∴ PH = PB

∴ PBH = PHB

又由旋转性质得EH⊥BD，即EH⊥BH

∴ PHE = 90－PHB，PEH = 90－PBH，

∴ PEH = PHB

∴ PH=PE

∴ PB=PE