Question

9．如图，直线a，b相交于点O，点P是平面上的一点，以OP为直径的⊙M交直线a、b分别为A、B．
（1）求证：∠AOP与∠ABO互余；
（2）若OA=5，AB=6，∠ABO=30°，求点M到弦AB的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AP，根据圆周角定理得到∠OAP=90°，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到OP=2OA=10，求出半径，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：连接AP，
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠P=90°，
∵∠P=∠ABO，
∴∠AOP+∠ABO=90°，
即∠AOP与∠ABO互余；
（2）连接MA，作MN⊥AB于N，
∠P=∠ABO=30°，
∴OP=2OA=10，
∴MA=5，
∵MN⊥AB，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得，MN=$\sqrt{M{A}^{2}-A{N}^{2}}$=4．

点评 本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．