Question

2．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AC=BC．若AD=3，DC=5，则BD=$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 在四边形ABCD的外部以DC为一边作等边三角形DCE，连接AE，由AC=BC，∠ABC=60°，易得△ABC是等边三角形，又由△DCE是等边三角形，可证得△BDC≌△ACE，即可得BD=AE，由△DCE是等边三角形，∠ADC=30°，易得∠ADE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．

解答 解：在四边形ABCD的外部以DC为一边作等边三角形DCE，连接AE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°；
又∵△DCE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠DCB=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=DC=5，∠CDE=60°．
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴BD=AE=$\sqrt{34}$，
故答案为$\sqrt{34}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．