Question

19．直线y=1与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A₁，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B₁，直线y=2与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A₂，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B₂，则四边形A₁B₁B₂A₂的面积为$\frac{3}{4}$；直线y=n与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A_n，与双虚线y=$\frac{2}{x}$相交于点B_n，直线y=n+1与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A_n+1，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B_n+1，则四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

Answer 1

分析 将y=1和y=2分别代入y=$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$中求出点A₁、B₁、B₂、A₂的坐标，由此即可求出线段A₁B₁、A₂B₂的长度，再根据梯形的面积公式即可得出四边形A₁B₁B₂A₂的面积，同理可求出四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积．

解答 解：∵直线y=1与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A₁，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B₁，直线y=2与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A₂，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B₂，
∴A₁（1，1），B₁（2，1），A₂（$\frac{1}{2}$，2），B₂（1，2）．
∴A₁B₁=2-1=1，A₂B₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵直线y=1与直线y=2平行，
∴四边形A₁B₁B₂A₂为梯形，
∴四边形A₁B₁B₂A₂的面积=$\frac{1}{2}$（A₁B₁+A₂B₂）×（2-1）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×1=$\frac{3}{4}$．
∵直线y=n与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A_n，与双虚线y=$\frac{2}{x}$相交于点B_n，直线y=n+1与双曲线y=$\frac{1}{x}$相交于点A_n+1，与双曲线y=$\frac{2}{x}$相交于点B_n+1，
∴A_n（$\frac{1}{n}$，n），B_n，（$\frac{2}{n}$，n），A_n+1（$\frac{1}{n+1}$，n+1），B_n+1（$\frac{2}{n+1}$，n+1），
∴A_nB_n=$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n}$，A_n+1B_n+1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
∵直线y=n与直线y=n+1平行，
∴四边形A_nB_nB_n+1A_n+1为梯形，
∴四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积=$\frac{1}{2}$（A_nB_n+A_n+1B_n+1）×（n+1-n）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）×1=$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$；$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、梯形以及两点间的距离公式，熟练掌握梯形的面积公式是解题的关键．