Question

6．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．（计算结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）根据平行线的性质得到BE⊥AB，根据三角函数的定义得到tan∠BAE=$\frac{AB}{EA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴tan∠BAE=$\frac{AB}{EA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AB}{EA}=\frac{BF}{AD}$，
∵AD=3，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．