Question

15．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（-3，0），B（0，-3）两点，二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的图象经过点A．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）当-3≤x≤0时，二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值为-4，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出直线解析式；
（2）根据抛物线经过点A，得到（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=0①，再由抛物线的顶点在直线AB上，得出$\frac{m}{2}$-3=$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$②，联立解方程组即可；
（3）分抛物线的对称轴-$\frac{m}{2}$＜-3，-3≤-$\frac{m}{2}$≤0，-$\frac{m}{2}$＞0三种情况讨论计算．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（-3，0），B（0，-3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x-3；
（2）∵二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的图象经过点A，
∴（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=0①，
∵二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$图象的顶点在直线AB上，
∴顶点为（-$\frac{m}{2}$，$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$）
由（1）知，直线AB的解析式为y=-x-3，
∴$\frac{m}{2}$-3=$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$②，
由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=4}\end{array}\right.$，
（3）当-3≤-$\frac{m}{2}$≤0，即：0≤m≤6时，
∵二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值为-4
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4③，
联立①③得，$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴m=2，n=-3；
当-$\frac{m}{2}$＜-3，即：m＞6时，
∴x=-3时，二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值为-4
∴（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4④
此时①和④矛盾，所以不存在这种情况，
当-$\frac{m}{2}$＞0，即：m＜6时，
∴x=0时，二次函数y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值为-4
∴（$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4⑤，
联立①⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{5}{3}$，n=-4，
即：m=2，n=-3或m=$\frac{5}{3}$，n=-4．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，动抛物线的极值的确定，解本题的关键是用方程的思想解动抛物线问题．