Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=126°，则∠CAD等于

1. A.
   36°
2. B.
   42°
3. C.
   38°
4. D.
   27°

Answer 1

B
分析：由于D是弧AC的中点，可知∠ABC=2∠ACD；由于半径AO⊥BC，由垂径定理易证得AB=AC，即∠ACB=∠ABC=2∠ACD，由圆内接四边形的性质知：∠BCD=∠DAE=126°，由此可求出∠ACD的度数；而∠DAC和∠DCA是等弧所对的圆周角，则∠DAC=∠DCA，由此得解．
解答：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，
∵D是的中点，
∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，
∴∠ACB=2∠DCA，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=∠DAE=126°，
∴∠ACB+∠DCA=126°，
即3∠DCA=126°，
∴∠DAC=∠DCA=42°．
故选B．
点评：此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧的关系，垂径定理，等腰三角形的判定，圆内接四边形的性质等知识，能够发现∠ACB与∠DCA之间的倍数关系是解答此题的关键．