Question

11．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BCA=90°，BC=4cm，AC=4$\sqrt{3}$cm．在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=DE=4cm．将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点C与点D重合，直角边BC与DE在同一条直线上．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向以1cm/秒的速度平行移动，当点B运动到点E时停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）如图（2），当三角板ABC运动到点C与点E重合时，设EF与BA交于点M，则$\frac{FM}{ME}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）如图（3），在三角板ABC运动过程中，当t为何值时，AB经过点F；
（3）在三角板ABC运动过程中，设两块三角板重叠部分的面积为y，且0≤t≤4，求y与t的函数解析式，并求出对应的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可解决问题．
（2）由DF∥AC，得$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，求出BD，再求出CD即可解决问题．
（3）分两种情形：①当0≤t≤4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，如图（4）中，重叠部分是梯形CDFM，②当4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤4时，重叠部分是五边形DCMGH，分别计算即可．

解答 解：（1）如图（2）中，

∵AC∥DF，
∴$\frac{FM}{ME}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（2）如图（3）中，

∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{BD}{4}$，
∴BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=BC-BD=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴t=（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）÷1=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（3）①当0≤t≤4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，如图（4）中，重叠部分是梯形CDFM．

y=$\frac{1}{2}$（DF+CM）•CD=$\frac{1}{2}$（4+4-t）•t═-$\frac{1}{2}$t²+8．
②当4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤4时，重叠部分是五边形DCMGH，

作DN⊥AC于N，设GN=NM=x，则AN=$\sqrt{3}$x，
由题意x+$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$-（4-t），
解得x=$\frac{4\sqrt{3}-（4-t）}{\sqrt{3}+1}$，
y=S_△ABC-S_△BDH-S_△AGM=8$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（4-t）•$\sqrt{3}$（4-t）-$\frac{1}{2}$•[4$\sqrt{3}$-（4-t）]•$\frac{4\sqrt{3}-（4-t）}{\sqrt{3}+1}$=-$\frac{1-3\sqrt{3}}{4}$（4-t）²+（6-2$\sqrt{3}$）（4-t）+12-4$\sqrt{3}$．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+8}&{（0≤t≤4-\frac{4\sqrt{3}}{3}）}\\{\frac{1-3\sqrt{3}}{4}（4-t）^{2}+（6-2\sqrt{3}）（4-t）+12-4\sqrt{3}}&{（4-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、特殊三角形的性质等知识，解题的关键是灵活灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会利用分割法求多边形面积，属于中考压轴题．