Question

3．已知函数y=mx与y=kx+b的图象经过点A（3，-4），且y=kx+b的图象交y轴于点B，若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，其中O为坐标原点
（1）求这两个函数的关系式；
（2）若点B在x轴的上方，试求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=mx可计算出m=-$\frac{4}{3}$，从而得到正比例函数解析式；利用勾股定理计算出AB=5，则B点坐标为（0，5）或（0，-5），利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）根据三角形面积公式即可求得．

解答 解：（1）把A（3，-4）代入y=mx得3m=-4，解得m=-$\frac{4}{3}$，
所以正比例函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x；
∵A（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵OB=OA，B点坐标为（0，5）或（0，-5），
把B（0，5）和A（3，-4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，此时一次函数解析式为y=-3x+5，
把B（0，-5）和A（3，-4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，此时一次函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x-5；
（2）如图，∵B（0，5），A（3，-4），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•x_A=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了两条直线相交问题以及待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系等．