Question

18．关于x的方程（k-1）x²-x+1=0有实根．
（1）求k 的取值范围；
（2）设x₁、x₂是方程的两个实数根，且满足（x₁+1）（x₂+1）=k-1，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；
（2）根据根与系数的关系，以及（x₁+1）（x₂+1）=k-1得方程即可求解．

解答 解：（1）∵关于x的方程（k-1）x^2-kx+1=0有实根，
∴①方程为一元二次方程时，△≥0且k-1≠0，
即（-1）²-4（k-1）≥0，k≠1，
∴k≤$\frac{5}{4}$且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k-1=0，k=1，
综上，k≤0时方程有实根；

（2）∵x₁、x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{1}{k-1}$，
∵（x₁+1）（x₂+1）=k-1，
∴x₁x₂+x₁+x₂+1=k-1，
∴$\frac{1}{k-1}$+$\frac{1}{k-1}$+1=k-1，
解得：k=3或k=0，
∵k≤$\frac{5}{4}$且k≠1．
∴k=0．

点评 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．