Question

17、已知半径为r的⊙O₁与半径为R的⊙O₂外离，直线DE经过O₁切⊙O₂于点E并交⊙O₁于点A和点D，直线CF经过O₂切⊙O₁于点F并交⊙O₂于点B和点C，连接AB、CD，
（1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题]
（ⅰ）求四边形ABCD的面积
（ⅱ）求证：A、B、E、F四点在同一个圆上
（2）求证：AB∥DC．

Answer 1

分析：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，根据切线的性质得∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，可证O₁、F、O₂、E四点共圆，得出∠AO₁F=∠EO₂B，再利用等腰三角形的性质，外角的性质证明∠EAF=∠EBF，判断A、E、B、F四点共圆；
（2）由（1）的结论可证∠ABF=∠AEF，同理可证F、C、E、D四点共圆，得到∠DEF=∠DCF，从而有∠ABF=∠DCF，证明结论．

解答：证明：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，
∵DE，CF为切线，
∴∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，∴O₁、F、O₂、E四点共圆，
∴∠AO₁F=∠EO₂B，
又O₁A=O₁F，O₂E=O₂B，
∴根据三角形外角定理，得∠EAF=∠EBF，
所以A、E、B、F四点共圆；
 
（2）∵A、E、B、F四点共圆，
∴根据同弧所对的圆周角相等，连接EF，则∠ABF=∠AEF，
同（2）法可证F、C、E、D四点共圆，则∠DEF=∠DCF，
而∠AEF和∠DEF为同一角，则∠ABF=∠DCF，
所以AB∥CD．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质，切线的性质．关键是根据切线的性质，逐步判断四点共圆，利用四点共圆的性质证明结论．