Question

15．已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂|=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，利用k≤$\frac{1}{2}$得到x₁+x₂=2（k-1）＜0，则-（x₁+x₂）=x₁x₂，所以-2（k-1）=k²，然后解关于k的一元二次方程，然后利用k的范围确定k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=4（k-1）²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{2}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂=2（k-1）＜0，
∴-（x₁+x₂）=x₁x₂，
∴-2（k-1）=k²，
整理得k²+2k-2=0，
解得k₁=-1+$\sqrt{3}$，k₂=-1-$\sqrt{3}$，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴k=-1-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．