Question

3．（1）正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图1，请直接猜想并写出AO与CD之间的数量关系：AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；
（2）如图2，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO₁C₁，连接AO₁，DC₁，请猜想线段AO₁与DC₁的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则$\frac{AE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，由勾股定理得到AO与CD之间的数量关系；
（2）如图2根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，得到△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，求出AC=$\sqrt{2}$AB　BC=$\sqrt{2}$BO，得到BD=$\sqrt{2}$AB，因为△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO₁C₁，所以∠O₁BC₁=∠OBC=45°，OB=O₁B，BC₁=BC，BC₁=$\sqrt{2}$BO₁，由∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，得到∠1=∠2，于是得到△BDC₁∽△BAO₁，求出结论；
（3）如图3在R_t△ABD中，cos∠ABD=$\frac{AB}{BD}$，在R_t△EBF中，cos∠EBF=$\frac{EB}{FB}$因为∠EBF=∠ABD=30°得到$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，得到
∠EBA=∠FBD，△AEB∽△FBD，由相似的性质得到解．

解答 解：（1）AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD．理由如下：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，
∴AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
故答案为AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；

（2）如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}AB，BC=\sqrt{2}BO$，
∴$BD=\sqrt{2}AB$，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO₁C₁，
∴∠O₁BC₁=∠OBC=45°，OB=O₁B，BC₁=BC，
∴BC₁=$\sqrt{2}$BO₁，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC₁∽△BAO₁，
∴$\frac{{DC}_{1}}{{AO}_{1}}=\frac{BD}{BA}=\sqrt{2}$，
∴${AO}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{DC}_{1}$；
（3）如图3 在R_t△EBF中，cos∠EBF=$\frac{EB}{FB}$
在R_t△ABD中，cos∠ABD=$\frac{AB}{BD}$，
∵∠EBF=∠ABD=30°，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，
即∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△FBD，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定等知识点，找相似三角形是关键．